Rodrigues变换

一、旋转矩阵和平移变量

向量在三维坐标的旋转可以通过$\vec{b}=R\vec{a}$实现，其中R为针对三个坐标轴的旋转矩阵的乘积：$R=R_zR_yR_x$，即分别绕x、y、z轴旋转α、β、θ的角度。

$R_x=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 &\cos{\alpha} &\sin{\alpha}\ 0 & -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix}$

$R_y=\begin{bmatrix}\cos{\beta} & 0 & -\sin{\beta}\ 0&1&0\ \sin{\beta} & 0 & \cos{\beta} \end{bmatrix}$

$R_z=\begin{bmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} &0\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} &0 \ 0&0&1 \end{bmatrix}$

将旋转矩阵视为$R = [ X_x,X_y,X_z]$，因为只做了旋转变换，各向量的相对位置不变，即依旧相互正交，且均为单位向量，即R为标准正交阵，满足性质：

X_x

X_y

X_z

= 1$

平移变量用来表示将一个坐标系的原点移动到另一个坐标系的原点。

在做双目立体视觉深度图像生成的时候，会出现旋转向量（1x3）与旋转矩阵（3x3），它们之间可以通过罗德里格斯相互转化。

向量旋转公式最早由 Rodrigues 提出，用一个三维向量来表示三维旋转变换，该向量的方向是旋转轴，其模是旋转角度。

设旋转向量的单位向量为 r，模为 θ。三维点（或者说三维向量）p 在旋转向量 r 的作用下变换至 p′，则：

设旋转向量的单位向量 $r=[rx ry rz]^T$，旋转角度为 θ，对应的旋转矩阵为 R，则 r 到 R 的转换是：

其中 I 是三阶单位矩阵。反过来 R 到 r 的转换则可以利用等式：

openCV函数实现为Rodrigues(Vec3, Mat33)。